آموزش محاسبه مساحت دایره به همراه مثال

آموزش محاسبه مساحت دایره به همراه مثال

یکی از مشکلات رایج در کلاس هندسه، محاسبه‌ی مساحت (Area) یک دایره، براساس اطلاعات ارائه شده است. که در واقع شما برای انجام این‌کار بایستی فرمول محاسبه‌ی مساحت دایره را بلد باشید؛ یعنی A=πr²؛ که البته فرمول ساده‌ای هست و تنها نیاز دارید تا شعاع دایره را بدانید! اما مسئله زمانی مشکل می‌شود که به‌جای شعاع، اطلاعات دیگری در اختیار داشته باشیم! بنابراین نیاز به محاسبات دیگری خواهد بود.

1- محاسبه مساحت با شعاع

دایره‌ای داریم که شعاع آن برابر 6 سانتی‌متر می‌باشد. و از آنجایی که فرمول پیدا کردن مساحت دایره برابر A=πr^{2 (}یعنی عدد پی یا 3.14 در مربع شعاع) است، بنابراین در این مثال r=6 بوده و در نتیجه r²=36 خواهد شد. پس مساحت به صورت زیر محاسبه می‌شود:

توجه داشته باشید که واحد مساحت، برحسب مربع (square) هست و چون در مثال بالا، شعاع برحسب سانتی‌متر بود، بنابراین جواب نیز سانتی‌متر مربع می‌شود. همچنین در خیلی از موارد، جواب نهایی بدون محاسبه‌ی مقدار پی نوشته می‌شود! برای مثال در بالا نوشته خواهد شد 36π که ما آن را در مقدار تقریبی 3.14 ضرب کرده و خروجی تقریبی 113.04 را به دست آورده‌ایم.

2- محاسبه مساحت با قطر

مثال قبلی، مساحت دایره را با استفاده از شعاع آن محاسبه می‌کند! ولی اگر قطر دایره را در اختیار داشته باشیم، از آنجایی که شعاع دایره برابر با نصف قطر می‌باشد، بنابراین با تقسیم قطر بر 2 می‌توان شعاع را به دست آورد و دوباره از فرمول یاد شده استفاده کرد. برای مثال، فرض کنید شعاع دایره‌ای برابر 20 اینچ (حالا ایندفعه واحد رو سانتی‌متر نگفتم) می‌باشد؛ پس خواهیم داشت:

3- محاسبه مساحت با محیط

محیط دایره، طول خط اطراف دایره می‌باشد و اگر مقدار آن را در اختیار داشته باشیم، می‌توانیم با فرمول زیر، مساحت دایره را به دست آوریم: (C همان محیط دایره می‌‎باشد)

طبیعتا برایتان سوال خواهد شد که این فرمول از کجا پیدا شد؟! اما اگر به فرمول محاسبه‌ی محیط دایره که برابر C=2rπ هست دقت کنیم، خواهیم دید که از این رابطه، رابطه‌ی زیر نیز به دست می‌آید:

و از آنجایی که A=πr²  می‌باشد، در ترکیب با فرمول بالا، فرمول زیر به دست خواهد آمد:

به همین سادگی.

یک مثال

فرض کنید، محیط دایره‌ای 42 سانتی‌متر است.

جواب به صورت زیر محاسبه خواهد شد:

4- محاسبه مساحت با مساحت بخشی از دایره

فرض کنید که مساحت بخشی از یک دایره را به صورت زیر در اختیار داریم: (به مساحت بخشی از دایره Sector نیز گفته می‌شود و با A_sec نیز نشان می‌دهند)

حالا برای محاسبه‌ی مساحت کل دایره، نیاز داریم تا با ابزاری مثل نقاله، زاویه‌ی مرکزی مساحتی که در اختیار داریم (A_sec) را به دست آوریم. سپس از طریق فرمول زیر، مساحت کل دایره را محاسبه کنیم: ( C در این فرمول، همان اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی بوده و A_cir نیز مساحت کل دایره می‌باشد. در واقع cir مخفف Circle است.)

همانطور که می‌دانید، یک دایره برابر 360 درجه می‌باشد و اگر آن را به زاویه‌ی مرکزی بخشی که مساحتش را در دست داریم تقسیم کنیم، تعداد بخش‌هایی که می‌تواند آن مقدار از دایره را اشغال کند، به دست خواهد آمد. سپس با ضرب تعداد (که ممکن است اعشاری نیز باشد) در مساحت بخشی از دایره که در اختیار داریم، می‌توان مساحت کل دایره را به دست آورد.

یک مثال

فرض کنید بخشی از دایره که به صورت زیر می‌باشد، مساحتی برابر با «15π سانتی‌متر مربع» دارد:

حالا زاویه‌ی مرکزی آن را به دست می‌آوریم که فرض کنید برابر 45 درجه است:

و جواب را به صورت زیر می‌توانیم محاسبه کنیم:

و اگر مقدار پی را نیز حساب کنیم، جواب به صورت زیر خواهد شد: